大约在 1967 年,著名的科学家波努瓦·芒得勃罗特在美国一个名为《科学》杂志上出版了一篇题目为“英国海岸线有多长?”的论文[32],文中他对海岸线的本质提出了独特的分析与见解,使得整个学术界得以震惊。海岸线是一条不规则的曲线,从图 2-1 所示中就可以看出海岸线是粗糙的光滑的,并不知道是怎么样的延伸,是非常复杂。但是当你放大几倍,几百倍乃至于几千倍之后所得到的的海岸线任然具备着原来所具有的的特征,一眼看去非常的相似等同于一个缩小版的海岸线。1975 年,他创造了 fractal(分形)一词,同年发表《分形对象:形,
机遇与维数》。波努瓦·芒得勃罗特在这一篇论文奠基下,经过不断的思考最终提出了分形理论。
分形简单的理解就是具有相似特性的事物,这些事物不管是进行怎么样的细分或者是进行放大处理,它都能够表现出整体的特性具有很高的自相似性。分形在生活中能够经常的遇见,比如一些衣服上花纹,树上长的枝丫以及闪电轮廓等。这些自然现象在过去很长的一段时间内并没有找到可以很好描述的词汇或者知识去进行形象的表达,而分形几何学的出现和运用为此提供了十分简便有效的工具。
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2.2 混沌动力学
2.2.1 混沌简介
混沌(chaos),意味着存在不可预知的或者随机的行为。几百年来,人们对于混沌的理解研究也是越来越深入,怎么样利用混沌的产生特性为我们所用和混沌对于事物的影响是现在研究非线性科学的重要研究内容之一。混沌的发展历史大致经历了三个阶段性的发展从开始的有序到混沌,对于混沌产生的原理和产生混沌所需要的一些特定条件进行了分析研究,接着是产生混沌后混沌中普遍适应性,其中的一些分形结构等进行探究。最后是从混沌状态中脱离出来,怎么样才能够使得我们在混沌状态中进行走出去,消除混沌,从而进行一个从发现混沌,进入混沌最后控制混沌的一个历史性跨越。对于混沌控制研究意味着混沌理论的不断进步,正在开始利用混沌在实际的生产开始运用来解决一些实际产生的问题。大部分自然现象和社会现象在本质上讲都是非线性的,具有许多的因素揉合在一起作用的。虽然线性系统理论能够帮助我们理解生产学习中我们所遇到的一些困难,但是对于在生产学习中遇到的各种各样的运动方式和瞬息万变的运动过程,只能够使用非线性科学的力量,才能帮助我们更加深刻的了解其中的本质。在非线性动力学中当中混沌是一个学者们更为注重的领域之一。
混沌现象在我们生产生活中经常性遇到。天气的变化就具有混沌的特征,因为影响天气的变化涉及许多因素的影响,例如包括温度变化,气压大小,风向变化等,而这里的每一个影响因素都是不可能测得非常的准确,只会是一个近似值,而且这些影响因素也会不断的变化,根据这些因素用流体动力学方程进行的预测的误差会随着时间的推移而不断扩大,使得天气预报十分困难和不可预测性。这说明天气的变化与初始影响因素有着密切的关系。从问题的表面来讲这些问题似乎很简单,结果完全可以预测。但是从问题的变化过程来看,由于对初始条件非常敏感,其变化行为又不可预测。描述混沌现象需要利用动力学系统的数学模型。一个随时间变化的过程被称为系统,但并不是任何一种变化过程都可认定为系统。满足两个要求才能够被称为系统,(1)在任意的一个时刻之中的系统状态都能够使用若干的参数进行准确性的描述。(2)系统并不是杂乱无章的胡乱运动,在系统随时间变化的过程中受到一个区域的约束,永远不会逃逸出这一规则,换句话讲就是系统受到一定的规则支配具有一定的意识。
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第三章 齿面微观几何的分形表征及模拟............................... 22