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自然辩证法论文：浅析弗雷格的逻辑主义及新逻辑主义的主张
新逻辑主义继承了弗雷格的逻辑主义的基本主张，认为基本的算术规律可以从标准的二阶逻辑和定义(休谟原则)得出。弗雷格的逻辑主义计划最初在《算术基础》中提出，弗雷格要严格区分逻辑的东西与心理的东西，他要为算术建立其逻辑基础，这体现在弗雷格要把算术真理规约为逻辑和定义，即算术真理可以从逻辑和合适的定义推出。但是人们一般认为弗雷格的逻辑主义失败了，其根本原因在于弗雷格在《算术的基本规律》中所实施的逻辑主义计划的公理系统有矛盾。但是随后逻辑学家发现了弗雷格定理，即标准的二阶逻辑系统加休谟原则可以推出戴德金的二阶算术公理。这一逻辑发现，在新逻辑主义看来有重要的哲学意义。他们认为休谟原则可以看作是基数的隐定义。从这个隐定义，不仅可以推出刻画标准自然数结构的算术真理，而且更为重要的是，可以解释“数”的涵义。这就为我们怎样理解抽象对象提供了合适的认识论。新逻辑主义者认为，弗雷格的涵义与指称理论虽然是其中后期的思想，而且还有一些地方需要修正，但是这样的意义理论可以用来发展弗雷格的逻辑主义。与弗雷格的逻辑主义最为相近的是，新逻辑主义者认为，在为算术所提供的认识论中不必诉诸直观而仅仅诉诸逻辑和定义。新逻辑主义与弗雷格的逻辑主义也有不同，其中显着不同的地方在于新逻辑主义把休谟原则作为基本定义，而非推出的定理。而弗雷格否定了休谟原则作为基本定义的作用，其理由正是弗雷格在其《算术基础》中所提出的凯撒问题。本文并不讨论新逻辑主义怎样解决凯撒问题，而是探讨休谟原则作为基本定义所面临的其他问题，其中最重要的问题是:我们以什么原则来接受一个定义?
本文分为五部分。第一部分概述弗雷格的逻辑主义主张;第二部分解释新逻辑主义的基本主张及这种哲学立场为什么把休谟原则作为基本的定义;第三部分讨论休谟原则是否是逻辑真理;第四部分讨论抽象原则可被接受的合理条件，在这部分重点讨论新逻辑主义解决良莠不齐问题的策略及其挑战;第五部分论文的结论。
一、弗雷格的逻辑主义
弗雷格在《算术基础》中的算术哲学的核心观点是:算术真理是分析真理，而分析真理是可以从逻辑和定义证成(justified)[1]3e-4e。《算术基础》并未给出一个严格的形式系统来说明算术真理的分析性，但是弗雷格却给出算术分析性的大致说明。他把“属于某个概念的数”定义为与这个概念“外延”有一一对应的等价类[1]80e-81e。他希望从这一定义可以推出算术的基本规律，并且相信可以做到这一点。弗雷格在其《算术的基本规律》真正实施了其逻辑主义计划。在《算术的基本规律》中，弗雷格需要定义“概念的外延”，因为在弗雷格看来，“数”的定义需要“概念的外延”(“属于某个概念的数”定义为与这个概念“外延”有一一对应的等价类)，因此他引入了公理V作为“概念的外延”的隐定义。正如我们所知道的，公理V加在标准的二阶逻辑系统上会导致矛盾。因此人们认为弗雷格的逻辑主义失败了。
让我们想象一下:假设公理V加在标准的二阶逻辑系统上不会导致矛盾，弗雷格的逻辑主义就是成功的吗?
弗雷格的算术哲学的核心是要解释算术真理的分析性，即算术真理都可以从逻辑和定义证成。这样的论断如果等同于所有的算术真理都可以从弗雷格所建立的公理系统证成，当然是无法实现的，这是哥德尔不完全定理告诉我们的。后来逻辑学家发现了弗雷格定理:休谟原则加在标准的二阶逻辑系统可以推出戴德金二阶算术的公理，这也并不意味着所有的算术真理可以从这个系统中证成。
弗雷格强调“定义”，无论公理V还是休谟原则都是“语境定义”，这种定义规定了某类对象的等同性的条件，新逻辑主义把这样的“语境定义”称为抽象原则，其一般形式如下:
其中#是一个运算，当这种运算运用到某种类型的表达式时，就会形成一个单称词项(singular term);≈表达的是两种相同类型表达式的等价关系。《算术基础》中的“线的方向”定义、休谟原则以及他在《算术的基本规律》中的公理V都是抽象原则，它们都有这样的形式。
线a的方向=线b的方向当且仅当线a和线b平行。
F的数=G的数当且仅当F与G有一一对应。
F的外延=G的外延当且仅当F与G同延。
当且仅当的右边是等价关系，比如线之间的“平行关系”、概念的“一一对应关系”、概念的“同延”都是等价关系;当且仅当的左边引入了新运算符号，表达两个对象的等同性。整个抽象原则就是这样的等值式，等值式的左边和右边有相同的真值条件。
抽象原则并不是一种“显定义”。显定义是用其他语词直接、明白地陈述被定义项的涵义。比如“人是理性动物”就是一个显定义。与显定义相对应的是“隐定义”，这种定义方式并不是直接陈述被定义项的涵义，而是靠陈述包含被定义项的句子来达到把握被定义项涵义的目的。希尔伯特认为一个公理系统就可以看作是隐定义，这些公理隐含地定义了某些初始概念。例如算术的公理系统隐含地定义了“数”“后继”等概念;几何的公理系统隐含地定义了“点”“线”“面”。在希尔伯特看来，包含某些初始概念的公理系统就是这些概念的“隐定义”，而这些公理来源于我们对这些概念的“直观”。
弗雷格反对“直观”作为“数”的认识论基础。在《算术基础》中，他明确反对康德把算术的认识论建立在直观的基础上。他也反对把非逻辑公理看作是隐定义。在给希尔伯特的信中，他认为希尔伯特的“几何基础”的公理系统并未给予“点”“线”“之间”这些词的意义，而是预设了先前就已经知道了这些语词的意义。这些公理仅仅表达了我们对于这些初始符号涵义的直观，但是没有解释我们如何获得这些符号的涵义。弗雷格要区分公理和定义。他认为公理表达了真理，如果公理中出现的语词的意义还没有确定，那么这个公理所表达的就不是一个思想。定义要给出特定语词的意义，公理并不承担给出语词意义的任务。当然希尔伯特并不同意弗雷格的立场[2]。
在《算术基础》的§60—67，弗雷格暗示了数可以用休谟原则来定义，但是他最终否定了休谟原则作为数的定义，其理由是这种定义方式无法解决凯撒问题。弗雷格认为休谟原则虽然给出了数相等的条件，但是这里的数在形式上必须是“F的数”，仅从这个定义，无法知道“木星的卫星数=凯撒”是否是真的。正是这个问题，使弗雷格转向“数”的显定义。弗雷格把“F的数”定义为与F有一一对应的等价类。而这个定义需要一个类理论，或者外延理论，为了提供这样的理论，弗雷格引入了公理V。这一点确实导致了其系统的不一致，对他的逻辑主义计划造成了致命的打击。
也许有人会问，为什么不采用集合论作为算术的基础来挽救弗雷格的逻辑主义计划?我想至少有两个明显的理由可以认为弗雷格会拒绝把集合论作为挽救其逻辑主义计划的途径。第一个理由，弗雷格的逻辑主义计划是要把数定义为“逻辑对象”，它的定义并不能诉诸其他非逻辑的概念，比如“集合”。公理集合论含有集合存在性的预设。另一个理由是弗雷格的数的概念实际上无法与集合论的数的概念相一致，因为基数作为对象组成的类太大了，以至于不能看作是集合。但是基数在弗雷格的理论中是一个概念，这里的概念是弗雷格意义上的概念，即谓词的指称，它不是集合。
二、新逻辑主义的逻辑主义主张
与弗雷格的逻辑主义不同的是，新逻辑主义认为休谟原则可以作为数的定义，并且基本的算术规律可以从二阶逻辑系统加休谟原则推出。基本的算术规律包括戴德金的二阶算术公理以及这个系统所推出的算术定理。弗雷格定理是一数学事实，即从二阶逻辑加休谟原则可以推出戴德金的非逻辑公理，这一点当然不会有人否定，这也许称不上一个“哲学”主张。新逻辑主义的哲学主张的核心是:休谟原则可以作为数的定义，来解释我们怎样理解或者说怎样认识抽象的“数”。贝纳塞拉夫(Benacerraf)提出柏拉图主义数学观的难点在于提供怎样认识抽象数学对象的认识论，如果新逻辑主义能够给出怎样理解抽象数学对象的途径，这确实具有重要的哲学意义。但是弗雷格本人就反对休谟原则作为数的定义，所以新逻辑主义的主张一开始就面临着如何解决“凯撒问题”的挑战。新逻辑主义者认为，休谟原则给出了解释抽象对象“数”的涵义，而且所有可以成为数的对象都是某个概念的数。没有哪个“数”不能通过休谟原则来解释。这种主张当然与弗雷格在《算术基础》中的观点有冲突，也正是这一主张，使得新逻辑主义找到解决“凯撒问题”的途径。
哥德尔不完全定理告诉我们，这样的系统无法证明所有的算术真理。新逻辑主义者似乎并不关心是否这个系统能够证明所有的算术真理，他们关心的是给出数的认识论，即如何解释“数”的涵义。戴德金的二阶算术系统确实刻画了“唯一的”(同构意义上)算术结构，如果休谟原则确实可以看作是定义，那么弗雷格定理正说明了休谟原则可以解释“数”。之所以称这样的主张为逻辑主义，是因为它与弗雷格的算术哲学如此接近:认为数的认识论不需要“直观”作为基础，而是以逻辑加定义作为其认识论的基础;之所以称之为新逻辑主义在于它与弗雷格的逻辑主义有别，其最为显着的区别就在于把休谟原则作为基本的定义，而不是所推出的定理。
为什么休谟原则可以作为定义?
新逻辑主义认为休谟原则:
通过等值式，使得左边“等同性”的真值条件可以由等值式右边提供，这样就可以理解等值式左边的意义。新弗雷格主义认为理解句子的意义当且仅当理解句子的真值条件，句子的真值条件就是句子的意义[3]。比如“玛丽是约翰的妻子”与“约翰是玛丽的丈夫”具有相同的真值，二者有相同的意义，只是这两个句子使用了不同的表达式，它们以不同的方式指向相同的真值。一旦理解了句子的真值条件，这个句子的意义也会随之理解。理解了句子的涵义，并且理解了句子中其他语词的涵义，那么这个句子所引入的新符号的涵义也会被理解。新弗雷格主义者认为，符号的逻辑类型也是符号涵义的一部分，比如“F”“G”是谓词符号，这种符号类型也是F、G的涵义的一部分。“=”连接两个单称词项，所以“N=”就是一个从概念到单称词项的函数，这当然也是“N=”的涵义的一部分。“F的数”与“G的数”等同的真值条件通过F与G之间有一一对应给出，于是“F的数与G的数等同”的涵义就被理解了，从而也理解了“N=”。
值得注意的是，新弗雷格主义者强调可以在不知道句子的某些表达式涵义的前提下也可以理解句子的涵义。这一点与弗雷格在《算术基础》中的观点并未冲突。在《算术基础》§65，弗雷格明确提出“线a与线b平行”与“线a的方向与线b的方向等同”有相同的涵义。按照弗雷格在《算术基础》的观点，句子的涵义依赖于组成句子表达式的涵义。达米特认为，如果不知道句子中所出现的表达式的涵义就无法知道句子的涵义。所以“线a的方向与线b的方向等同”的涵义如果被理解就应该预先知道“线a的方向”“线b的方向”的涵义。而“线a的方向”“线b的方向”的涵义正是要通过定义才确定的，也就是说这个定义需要构造出这些涵义，而非原来就已知道。这正是达米特[4]强调弗雷格注定失败的地方。如果要应对达米特的批评，必须要修正弗雷格在《算术基础》中的观点。
莱特(Wight)[5]和黑尔(Hale)[3]都对此有明确的回应。他们都认为定义的作用就是要确定新表达式的涵义。新表达式的涵义如果预先就已知道，那就没有必要用定义了。黑尔认为弗雷格在《算术基础》之后建立的涵义与指称的理论区分了单称词项的涵义与指称，这个理论也可以推广到句子。句子的涵义是思想，理解句子的涵义需要理解句子的真值条件，即句子为真的条件。句子的真值是句子的指称，句子的涵义是指向其指称的方式。句子的涵义或句子所表达的思想等同于这个句子的真值条件。句子的涵义可以有不同的组合方式，但是最终形成的不同句子可以表达相同的思想。
以“方向”的抽象原则为例。这个抽象原则断言了等值式左边的句子“直线a的方向=直线b的方向”与等值式右边的句子“直线a平行于直线b”具有相同的真值条件，即具有相同的涵义。通过右边句子的涵义，我们理解了左边句子的涵义。左边句子的句法特征是有等词符号。因为我们理解了“=”的涵义是两个对象的等同，所以等值式左边的句子表达的是两个对象的等同，而它们等同的真值条件就是右边句子的真值条件。在新弗雷格主义者看来，抽象原则定义的是一个新种类对象。通过抽象原则，可以理解新的种类对象的同一性的条件，从而这种新种类的对象也被理解了。新弗雷格主义在吸收了弗雷格后期的理论之后，重新审视抽象原则，认为休谟原则确实可以定义“基数”这一类的对象。
实际上，隐定义并不仅局限于抽象原则，还有一些隐定义并不具有抽象原则的形式。希尔伯特的认为公理系统本身就界定了初始符号的涵义，但是含有这些初始符号的公理需要诉诸我们对某些对象的直观，所以在弗雷格和新弗雷格主义者看来，这种隐定义还不足以解释我们如何理解被定义项的涵义。在希尔伯特看来，理解这些公理的涵义也是通往理解某些初始符号的涵义之路，这确实也是隐定义。但是这种隐定义需要预设我们对于它们的直观，并且预设某些对象的存在。除了公理这种形式的隐定义，还有其他隐定义的形式。比如在物理理论中对于“电子”等种类概念，也可以通过隐定义来确定其涵义。一般说来，经验科学的隐定义具有这样的形式:x#x→#f，其中“f”是被定义项，“#”是一个母式，其涵义已知。这种隐定义通过预设这个公式的真来确定“f”的涵义。这种形式的公式被大卫·刘易斯(David Lewis)称为卡尔纳普条件句[6]。这个公式作为定义不会因为理论的变迁而被否定。一个经验科学理论不妨被看作是某些关于f的基本规律的合取，记作Φ(#f)，也可能这个句子本身就是#f。随着观察证据的发现，我们的理论可能会出现与观察不协调，即会有结论，那么按照定义，就会得出不存在某种实体。但是定义本身是个条件句，仍可被保留。这个定义从认识论的角度看，是先天的，因为它不接受经验的检验。但是经验科学理论．Φ(#f)却不是先天的。
回到休谟原则，这个原则与经验科学理论的隐定义不同。它的目的不是指出满足“#--”的对象。实际上，仅从这个原则看，它没有承诺任何对象的存在。它只是指出某种对象等同的条件，至于是否存在这种对象，这个定义没有陈述。从这点看，由休谟原则建立的理论不会具有上述经验理论的后果，我们不会得出数不存在，因此整个理论是先天的。在我看来，休谟原则作为隐定义最吸引人的地方有两点:(1)不诉诸直观就可以解释“数”的涵义;(2)解释了数学真理的先天性。
但是休谟原则作为隐定义，也有很多哲学上的难题。
三、休谟原则是否是逻辑真理
布鲁斯(Boolos)认为休谟原则只能在无穷模型上真。而逻辑真理应该是“中立的”，即在任何模型上都真，所以休谟原则不是逻辑真理。如果逻辑真理如布鲁斯所说，在任何模型上都真，那么休谟原则不是逻辑真理[7]。但是这里需要澄清两个问题:(1)定义与逻辑真理是否不同;(2)逻辑真理是否就是在所有模型上都真的命题。关于第一个问题，我想弗雷格应该是区分逻辑公理和定义的，定义的目的在于界定新符号的涵义，而逻辑真理已经预设了逻辑常量的涵义。所以即使承认定义不是逻辑真理，对于新逻辑主义也不会构成威胁。在弗雷格看来，逻辑真理是普遍真理。这种普遍性并不是在集合-模型意义上的普遍性。为了理论的方便，一阶逻辑的模型要限制论域非空，如此一阶逻辑也不是逻辑了，因为它只是在非空的模型上才成立。
不可否认的是，从休谟原则和二阶逻辑出发，确实可以断言存在0,1，……这样的可数无穷序列，但是这个结论并不是休谟原则本身断言的，而是从休谟原则加逻辑得出的。新逻辑主义者主张:承认存在这样的数学对象是因为理解了N=这个运算的涵义以及理解了二阶语言的结果，这并不意味着新逻辑主义者需要在预先承认的无穷域中找出一个可数无穷域来满足这个理论[5]。达米特正是在这种曲解的基础上对新逻辑主义者的主张提出的批评。他认为当论域足够大N=才有意义，但是休谟原则却无力告诉我们这样的论域观念是怎样得出的。新逻辑主义者强调当N=算子的涵义一旦被理解了，这样的无穷域就会得到承认，而非像达米特所解释的那样是先预设一个无穷域，然后再有N=的意义[4]。
莱特在多处明确指出:N=仅仅是约定关于数相等的陈述句的意义，除了给出这种陈述句的真值条件，并不承担独立的认识论的义务来保证存在对象满足约定的陈述[5,8,9]。有对象满足N=是从定义和逻辑推出的，但是定义本身无须对这个条件作认识论上的保证。这就像卡尔纳普条件句一样，是否存在#f，不是理论和定义保证的，还依赖于经验观察。
四、休谟原则的合理依据
布鲁斯和他的学生赫克(Heck)更关心的是休谟原则的“合理性”，或者说休谟原则能够被接受其条件是什么。弗雷格定理是一个数学事实，这当然不是他们争论的焦点;争论的焦点在于为什么要接受休谟原则这条非逻辑公理?戴德金的二阶算术系统也许在某些哲学家那里就已经过于强了，比如有人会反对完整的归纳法等。在二阶算术之下还有许多较弱的算术系统。而休谟原则蕴涵二阶算术，所以布鲁斯和赫克实际上是在质疑新逻辑主义能否给出接受如此强的算术系统的哲学解释。他们认为，新逻辑主义似乎把弗雷格定理作为支持他们哲学立场的证据，二阶算术成了休谟原则合理性的论据，这在认识论上二阶算术就先于休谟原则，而非休谟原则先于二阶算术。
从二阶逻辑看，休谟原则能够推出二阶算术的公理，当然也意味着这个定义在证明上要强于二阶算术的公理。赫克[10]考虑的问题是:是否有局限于有穷概念的休谟原则可以抵御某些特殊的批评。新逻辑主义者并不认同赫克的这种做法。他们认为赫克的做法是反向的，即先承认某些算术如果是合理的，然后再考虑这样的算术需要怎样的抽象原则。新逻辑主义者首先要接受的是休谟原则本身是合理的，因为它可以确定N=的涵义。至于它的指称，新逻辑主义者并不认为这是定义的任务。从莱特的观点看，他并不否认把戴德金-皮阿诺算术理论作为弗雷格算术的前理论。新弗雷格主义的算术哲学的任务是要建立一套哲学理论来解释关于前理论的认识论。这一认识论核心是要解释我们如何理解“数”。如果一旦数的涵义被理解，那么由“数”所定义的“自然数”继而也被理解。这些定义的真，要求自然数所构成的可数无穷域存在。新弗雷格主义者同样也是坚定的柏拉图主义者，他们认为数不是依赖于我们而独立存在的。二阶算术的真理的证成在认识论上是客观的，但是如果你承认了休谟原则定义的有效性，并且也承认二阶逻辑推理的有效性，那么还有什么理由去反对二阶算术呢?
布鲁斯认为，即使这样，新逻辑主义者仍然无法保证休谟原则的“分析性”[11]。布鲁斯认为分析真理首先是真理，但是我们如何保证这样公理系统无矛盾呢?弗雷格的公理V也具有抽象原则的形式，定义了概念的外延，但是这样的定义在二阶逻辑的基础上会导致矛盾。我们怎么保证休谟原则不会导致矛盾呢?如果在将来的某一天，休谟原则被发现也会导致矛盾，那么休谟原则根本谈不上是真理，又怎能断言说它是分析真理?达米特[12]也同样表达了这种批评。达米特认为，如果抽象原则本身是好的解释抽象对象的方式，那么外延公理作为抽象原则的一个特例，它应该对于外延做出好的解释，但是这样系统却导致了矛盾。现在这个问题被称为“良莠不齐(bad company)”问题。达米特认为非直谓的抽象原则并不能保证如此方式认识抽象对象无矛盾。
新逻辑主义者认为一致性是抽象原则必须满足要求。但是这种一致性不必是对象理论所能证明的，而是可以相信这样的系统是一致的。相信系统的一致性并不会破坏逻辑主义的主张，因为新逻辑主义并不主张一致性可以由逻辑和定义推出。至于达米特的直谓的主张，新逻辑主义者认为，既然弗雷格算术系统是一致的，并不能因为公理V的不一致而否认所有的非直谓的抽象原则。布鲁斯的批评更近一步[11]，他提出即使一致性也很难保证“休谟原则”的合理性。比如在二阶逻辑的基础上可以加另一条抽象原则(妨害原则NP):任意两个概念F与G，它们是有穷差别当且仅当F与G在外延上的差别是有穷的。这个抽象原则只能在有穷的模型上可满足。这意味着在二阶逻辑的基础上加上妨害原则是一致的系统，但是这个原则与休谟原则是冲突的，因为休谟原则(如果在选择公理的预设下)只能在无穷的模型上可满足。布鲁斯的问题是，既然这两个抽象原则都是一致的，接受休谟原则就应该有其他理由而不能仅仅是一致性这一条理由。莱特曾经指出，一个抽象原则可被接受的必要条件还要是保守的，即原来的理论加上这条原则并不会对原来的本体(原来的本体不应包括抽象原则所引入的新的本体)得出新的结论。莱特认为NP断言了对象域是有穷的，这破坏了保守性，因此是不能被接受的。
莱特的“保守性”的条件可以陈述为:抽象原则如果可接受，则必须不能对论域的上界有限制[9]。妨害原则限制了论域不能超越有穷，所以接受这个原则即接受了论域的上界，但是我们没有任何理由承认论域的上界是如此的。然而这样的条件也很快被找到了反例。阿兰·威尔(Alan Weir)[13]给出了一类受限制的公理V，它们都是保守的，但是对于论域的要求却是不相容的。很自然地，他给出新条件———和平性:如果一个抽象原则是保守的并且与所有其他保守的抽象原则都相容，则这个抽象原则是和平的。威尔证明了和平性与稳定性是等价的。抽象原则的稳定性是:如果一个抽象原则在基数为κ的模型上可满足，并且λ≥κ，那么这个抽象原则也在基数为λ的模型上可满足。然而这个条件也受到了挑战:林纳玻(Linnebo)[14]给出不同的抽象原则，它们每一个都是稳定的，但是却不相容。
我认为莱特的保守性的涵义包含:如果我们没有更好的理由接受任何一对矛盾的抽象原则的任何一个，那么这两个抽象原则都是不可接受的。这个涵义可以阻挡林纳波所提出的这些反例。比如一个抽象原则如果断言的是论域的大小是一个后继基数，而另一个抽象原则断言的是极限基数。那么按照保守性的主张，论域的大小究竟是后继基数还是极限基数都没有合适的理由，那么这样的抽象原则都不可取。
五、结论
新逻辑主义者认为，休谟原则作为隐定义能够解释“基数”以及“有穷基数”的涵义，并且认为这种涵义的确立在认识论上没有其他的负担，比如无须在认识论上保证一定有标准的算术结构来满足休谟原则等等。但是面对“良莠不齐”问题，新逻辑主义者也认为需要在哲学上给出解决“良莠不齐”问题的途径。这种哲学上解决问题的办法是元理论的方法，它为抽象原则找到一些可接受的必要条件，比如一致性、保守性、稳定性(或和平性)。或许这些条件仍然不足够，但是这并不意味着这样的条件找不到。
另一方面，新逻辑主义者与弗雷格一样，坚持不诉诸直观为算术寻找逻辑的基础。作为抽象原则的隐定义并不能保证如此认识抽象对象的方式是“安全的”，公理V就是一个例证。但是在人类认识的过程中，有什么是绝对安全呢?新逻辑主义者的主张带有“基础主义”的色彩，但是这种“基础主义”并不是要寻找算术的绝对安全的基础。他们的基础主义与蒯因的经验主义形成对比，他们并不认同蒯因的主张，认为逻辑也会被经验所修正。他们认为有些最基本的逻辑原则是不会被修正的。至于休谟原则，他们并非要论证它是一个绝对安全的定义，而是相信这个定义不会有矛盾。如果某一天，发现这个原则也会导致矛盾，那么这确实构成了对新逻辑主义的威胁。面对“良莠不齐”问题，新逻辑主义者的做法实际上是在寻找休谟原则的合理根据，虽然这个合理依据并非绝对安全的依据。新逻辑主义者所寻找的根据是“向上的”，即要找到接受抽象原则的普遍条件，这些条件可以说明休谟原则与公理V、妨害原则等抽象原则的不同。这就需要从更高的地方去看所有的抽象原则，从而区分出可接受的抽象原则应该具有什么条件。而这些条件一旦被找到，或许在新逻辑者看来，就构成了最终解释算术基础的“法庭”，同时这些条件不再被送进“其他法庭”接受审理。
当回头看新逻辑主义者探索算术基础之路时，我们会发现他们的哲学理论是一种基础主义的理论。这种基础主义首先肯定了逻辑是普遍的真理，它的真不会受到经验科学的挑战或修正。其次这种基础主义肯定了定义真理。虽然定义本身并不能为其真理性做任何的辩护。因此新逻辑主义者给出了成功定义的标准。面对“良莠不齐问题”的挑战，新逻辑主义需要提供休谟原则为何是成功的定义的理论依据。依据可以总结为两条:一致性和保守性。
人们也许会认为，我们并不是依据休谟原则来认识数的。在弗雷格算术系统之前，或者说在休谟原则之前，“基数”或者说“有穷数”的涵义已被理解，否则19世纪之前人们将不会有初等数学。需要注意的是:我们或许在认识休谟原则之前确实认识了数。但是我们并不清楚我们认识数的逻辑基础是什么。新逻辑主义者的休谟原则确实为“数”找到了一个理论解释，就像物理学要为经验事实找到一个理论解释一样。理论解释的合理性当然包括它的解释力度，要看它能否解释前理论的现象或者前理论的理论。爱因斯坦曾说:“一切科学，不论是自然科学还是心理学，其目的都在于使我们的经验相互协调，并把它们纳入一个逻辑体系。”[15]新弗雷格主义的算术理论正是这样一个逻辑体系，它从定义和逻辑规则就能够推出所有基本的算术规律。
所以，弗雷格定理是我们相信休谟原则可以解释“有穷数”的证据。也许你会问:弗雷格算术系统对于“小于等于”关系(ancestral relation)的定义是否就是我们心中原有的“小于等于”关系，对于“有穷数”的定义是否就是我们心中原有的“自然数”?如果一个公理系统是一致的，但是无法推出弗雷格定理，我们还有什么理由认为这个公理系统的算术公理解释了自然数?在什么意义上，我们才能说某个公理系统解释了自然数?没有对于自然数的直观作为参照，这个问题无法回答。确实如此。正如上文所说，新逻辑主义者并不排斥前理论的东西，它们都是建立弗雷格算术理论的素材。
如果你认为数的“小于等于”关系应该满足什么条件，那么验证一下弗雷格算术系统中所定义的这个关系是否也满足这样的条件就可以了。如果你认为你心目中的自然数就是那些满足戴德金-皮阿诺算术公理的对象，那么弗雷格的“有穷数”也是如此。那么这就给出了弗雷格算术系统的合理的理由。
让我们把哥德尔的公理观与逻辑主义的抽象原则的可接受条件做一个比较。哥德尔曾把数学的基本原理(公理)与自然科学中的基本原理做过对比。他在《康托连续统问题是什么》中提出新公理计划，认为在公理集合论的基础上增加新的公理可以回答连续统问题。增加的新公理不是任意的，哥德尔认为新公理的选择应该有两个标准，这两个标准也是新公理为“真”的标准，它们分别是:新公理的内在必然性(the intrinsic necessity)以及新公理的后承丰富性(abundant in their verifiable consequences)。他的第二个标准或许在数学实践的经验上成为是否接受新公理的可操作的标准。
“即使不考虑某一新公理的内在必然性，并且甚至在它根本没有什么内在必然性的情况下，关于它的真理性的概然判定从另一条道路来说也是可能的，即归纳地研究它的‘成功’。这里成功的意思是在推理上的多成果性，特别是在‘可验证的’推论上，那就是不用新的公理就可以证实的推论，但依靠新的公理的帮助，这些推论的证明要简单得多和容易发现得多，并且使许多不同的证明有可能压缩成一个证明。……可能存在这样的一些公理，它们的可验证的推论非常丰富，对整个领域给予很多阐明，而且产生强有力的解决问题(只要可能，甚至是构造性地解决这些问题)的方法以致不管它们是否内在必然，这些公理至少应在和任何公认的物理理论一样的意义上被接受。”[16]
如果把新逻辑主义者所探寻的抽象原则的可接受的“向上”理由看作是抽象原则的“内在必然性”的话，那么在哥德尔的第二个公理标准并未被新逻辑主义者所忽略。新逻辑主义者承认弗雷格算术理论前的算术。前理论的算术会诉诸直观，但是要建立的算术理论不能诉诸直观，而是要给出理论依据。新逻辑主义者认为，一旦休谟原则被理解了，“基数”的涵义就确定了，而且这个原则加上二阶逻辑就可以推出算术的基本规律。哥德尔的数学哲学思想强调公理也赋予初始概念涵义，只是这种涵义不是完全确定和清楚的，比如某些命题独立于这个系统，也就是说这个公理系统所确定的涵义不足以使我们判定某些独立命题的真假。但是我们对于初始概念会越来越清楚，这也是我们可以扩张原有系统的原因。但是新逻辑主义者和哥德尔不同的是，他们认为公理不能作为定义，其理由和弗雷格批评希尔伯特的理由是相同的。
弗雷格定理只是一个元数学定理，其本身并不是哲学。新逻辑主义者认为这是一个为新弗雷格的算术哲学理论辩护的证据，因为它确实证明了从休谟原则可以推出基本的算术真理。新逻辑主义者在算术哲学上有两个基本的观点:第一数是独立持存的;第二我们对于数是可以认识的，休谟原则作为数的定义可以解释“数”的涵义。休谟原则的哲学意义在新逻辑主义的算术哲学中有重要的价值。新逻辑主义者需要提供一个定义理论，说明什么是成功的定义，并且他们的定义理论能够解释为何休谟原则是成功的定义。他们定义理论还需要说明抽象原则所定义出的“数”是实在的。这正是休谟原则的哲学意义所在。
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